Fixed Income

• 描述即期利率、远期利率、YTM、预期回报与实际回报及收益率曲线形状的关系
• 通过 Bootstrapping 从平价曲线推导零息利率（即期利率）
• 描述主动债券组合管理中远期利率假设对即期利率演变的隐含含义
• 描述顺势滚动策略（Rolling Down the Yield Curve）
• 解释互换利率曲线及市场参与者如何使用其进行估值
• 计算并解释特定期限的互换利差（Swap Spread）
• 描述衡量经济整体信用风险与流动性风险的短期利率价差
• 解释利率期限结构的传统理论及其对远期利率和收益率曲线形状的含义
• 解释债券对驱动收益率曲线的各因子的敞口如何衡量，以及如何管理收益率曲线风险
• 解释收益率波动率的期限结构及其对价格波动率的影响
• 解释如何利用关键经济因素建立基准利率、利差和收益率曲线变化的观点

即期利率（Spot Rate, zN）是对应期限零息债券的到期收益率，完全刻画货币时间价值：

DF_N = 1 / (1 + z_N)^N

即期利率的集合称为即期曲线（Spot Curve），等价于折现函数（Discount Function），二者包含相同信息。

远期利率与远期定价模型

远期利率 f(A, B-A)：今天约定的、从 A 期开始、期限为 B-A 期的贷款利率。 无套利原则给出远期定价模型：

DF_B = DF_A × F_{A,B-A}

用利率表示的远期利率模型：

(1 + z_B)^B = (1 + z_A)^A × (1 + f_{A,B-A})^{B-A}

即期利率与远期利率的关系：即期利率可视为短期利率和一系列远期利率的几何平均：

(1 + z_T)^T = (1 + z_1)(1 + f_{1,1})(1 + f_{2,1}) ··· (1 + f_{T-1,1})

即期曲线形状与远期曲线的关系

• 即期曲线向上倾斜→ 远期曲线位于即期曲线上方（边际高于平均）
• 即期曲线向下倾斜→ 远期曲线位于即期曲线下方
• 即期曲线平坦→ 远期曲线与即期曲线重合

Bootstrapping 自举法

从面值债券（Par Curve）逐期推导零息利率的前向替代过程。以两年期为例：

1 = c_2/(1+z_1) + (1+c_2)/(1+z_2)^2  →  求解 z_2

例：z₁=5%，2年面值票息=5.97% → z₂=6%；继续推导 z₃=7%，z₄=8%

远期利率的双重解读

• 盈亏平衡利率：使投资者在长期零息债与短期零息债+再投资之间无差异
• 可锁定利率：通过延长持有期限可提前锁定的未来利率

到期收益率（YTM）是对债券各期现金流统一折现的加权平均即期利率， 而非某一单一期限的即期利率：

Price = C/(1+z₁) + C/(1+z₂)² + ··· + (C+FV)/(1+z_T)^T
       = C/(1+y)  + C/(1+y)² + ··· + (C+FV)/(1+y)^T

当收益率曲线向上倾斜时：z₁ < y < z_T（YTM 介于最短与最长期即期利率之间），且 YTM 偏向最大现金流对应的即期利率。

YTM 的局限性

YTM 等于实际回报需满足极苛刻假设，以下情形会导致偏差：

• 利率波动（再投资风险）
• 收益率曲线非平坦（上坡或倒坡）
• 违约风险存在
• 债券含嵌入期权

远期利率实现时的债券回报

若未来即期利率精确等于当前远期曲线所隐含的利率，则所有期限债券的持有期回报均等于一期无风险利率（本期即期利率 z₁）。 若实际未来即期利率低于（高于）远期利率，则债券回报高于（低于）一期无风险利率。

主动债券管理的核心：预测未来即期利率将偏离当前远期曲线——若预测正确，可获得超额回报。

关键结论

• 若组合经理预期未来即期利率低于远期利率 → 债券被低估 → 买入
• 若预期未来即期利率高于远期利率 → 债券被高估 → 卖出
• 预期利率高于远期利率 1%，实际回报将低于 YTM

顺势滚动策略（Rolling Down the Yield Curve）

又称"骑乘收益率曲线"（Riding the Yield Curve）。在收益率曲线向上倾斜且预期曲线不变时：

• 买入期限长于投资期限的债券，在到期前卖出
• 债券随时间推移"滚动"到更短期限，以更低收益率（更高价格）定价
• 总回报 = 票息收入 + 再投资收益 + 资本利得（来自价格上升）
• 债券期限越长，对利差的敏感度越高，潜在超额收益越大

期限利差套利交易（Maturity Spread Carry Trade）

借入短期资金、投资长期债券（同种货币），在收益率曲线陡峭时常见。面临的主要风险：未来即期利率意外上升（如通胀飙升）。

利率互换（Interest Rate Swap）：固定利率付款方与浮动利率付款方的净现金流交换。固定端利率即互换利率（Swap Rate）。

互换利率曲线（Swap Curve）是互换利率的期限结构，属于面值曲线（Par Curve）的一种——因为平价互换（Par Swap）在合同起始不交换资金。

互换曲线 vs 国债曲线

• 互换曲线基于银行短期借贷利率（MRR/SOFR），含信用风险溢价
• 批发银行偏好用互换曲线（资产负债表以互换对冲）；零售银行更多用国债曲线
• 部分国家政府债券市场不发达，互换曲线是利率基准的唯一选择
• BIS 估计利率互换名义本金约 350 万亿美元，流动性极高

互换利率的定价公式

互换固定端利率 s_T 由令固定端现值等于浮动端现值（= 1）确定：

s_T × (DF₁ + DF₂ + ··· + DF_T) + DF_T = 1

s_T = (1 - DF_T) / (DF₁ + DF₂ + ··· + DF_T)

互换利差（Swap Spread）

Swap Spread = 互换固定利率 - 同期限当期国债收益率

反映市场对信用风险的整体判断，景气衰退时扩大、经济扩张时收窄。美国 30 年期互换利差在 2008 年后一度转负，原因包括久期需求旺盛、流动性收紧及互换交易商监管资本要求提高。

I-Spread（插值利差）

债券到期收益率减去同期限互换利率（通过插值获得）。衡量债券相对互换曲线的信用/流动性溢价。

短期利率价差指标

SOFR（Secured Overnight Financing Rate）：以美国国债为抵押的隔夜现金借贷利率，已取代 Libor 成为美元浮动利率基准。

Litterman & Scheinkman (1991) 的三因子模型表明，收益率曲线变动可分解为三个独立运动：

关键利率久期（Key Rate Duration）

衡量组合对特定期限段利率变动的敏感性，可识别和管理形态风险（Shaping Risk）：

ΔP/P ≈ -KeyDur₁ × Δy₁ - KeyDur₅ × Δy₅ - KeyDur₁₀ × Δy₁₀

所有关键利率久期之和 = 有效久期（Effective Duration），即平行移动时的价格敏感性。

三因子久期分解

ΔP/P ≈ -D_L × Δx_L - D_S × Δx_S - D_C × Δx_C

D_L = 水平因子久期（= 有效久期），D_S = 陡峭度因子久期，D_C = 曲率因子久期

收益率波动率期限结构（Volatility Term Structure）：不同到期日零息债券收益率波动率 σ(t,T) 的集合，衡量收益率曲线风险。

σ(t,T) = 指定期间内利率比例变动的年化标准差

典型规律：短端波动率高于长端波动率（如 3 个月 T-Bill 波动率 ~35%，30 年期 ~12%）。

驱动因素

• 短期利率波动：主要由货币政策不确定性驱动
• 长期利率波动：主要与实体经济和通胀不确定性相关

对债券价格的含义

尽管短端利率波动率更高，但长期债券价格因久期更长而受利率变动影响更大。含嵌入期权的固定收益产品（如可赎回债券）价值对波动率极为敏感。

债券风险溢价（Bond Risk Premium）：长期无违约债券超过短期债券（或一期无风险利率）的预期超额回报，也称期限溢价（Term Premium）。

主要宏观驱动因素

• 货币政策：解释短中期利率约 2/3 方差；加息 → 短端上升 → 熊市平坦化；降息 → 短端下降 → 牛市陡峭化
• 通货膨胀：解释长期利率约 2/3 方差
• 经济增长：影响长期利率（增长预期上升 → 曲线变陡）
• 财政政策：赤字增加 → 供给增加 → 收益率上升
• 国内外投资者需求：养老金/保险公司对长期债需求 → 压低长端利率
• 质量飞奔（Flight to Quality）：市场压力时国债需求上升 → 牛市平坦化

收益率曲线变化类型

基于利率观点的交易策略

• 预期利率下降 → 延长久期
• 预期利率上升 → 缩短久期
• 预期曲线变陡（长端升 > 短端）→ 做空长端 + 买入短端
• 预期曲线变平（短端升 > 长端）→ 买入长端 + 做空短端
• 子弹组合（Bullet）：集中单一期限；哑铃组合（Barbell）：结合短端和长端，久期相近但形态不同

• 即期利率 = 短期利率与一系列远期利率的几何平均
• 即期曲线上斜（下斜）→ 远期曲线位于其上方（下方）
• 若远期利率实现，则所有期限债券一期回报均等于一期即期利率
• 顺势滚动策略：在曲线上斜且稳定时，买入期限更长的债券可获超额回报
• 主动管理 = 预期未来即期利率将偏离当前远期曲线
• 互换曲线与国债曲线因信用风险、流动性差异而不同
• TED 利差、MRR-OIS 利差是衡量经济信用/流动性风险的短期指标
• 四大传统理论：纯预期、局部预期、流动性偏好、市场分割/优先栖息地
• 三因子模型（水平、陡峭度、曲率）解释绝大多数收益率曲线变化
• 短端利率波动率 > 长端，但长端债券价格敏感性更高
• 货币政策主导短期利率，通胀主导长期利率，经济增长影响长端

• 解释固定收益工具无套利估值的含义
• 计算无嵌入期权固定利率附息债券的无套利价值
• 描述二叉利率树框架
• 描述将二叉利率树校准至特定期限结构的过程
• 描述逆向归纳估值法，并计算给定节点现金流的固定收益工具价值
• 比较用零息收益率曲线定价与用无套利二叉格点定价的异同
• 描述二叉利率树框架中的路径估值法，并据此计算债券价值
• 描述蒙特卡洛远期利率模拟及其应用
• 描述期限结构模型及其使用方法

无套利估值（Arbitrage-Free Valuation）：确定与市场中不存在套利机会相一致的证券价值。套利机会是指无需净投资即可实现无风险利润的交易。

一价定律（Law of One Price）

完全相同的两种资产必须以相同价格交易。违反一价定律将产生套利机会，市场参与者会无限量买低卖高直到价格收敛。

两类套利机会

债券的无套利估值含义

债券应被视为一组零息债券（现金流包）。每期现金流用对应期限的即期利率折现，所有现金流现值之和即为无套利价格。这与美国国债市场的拆离（Stripping）和重组（Reconstitution）机制直接对应。

用各期限对应的即期利率分别折现每笔现金流，加总得出无套利价格：

P₀ = C/(1+z₁) + C/(1+z₂)² + ··· + (C+FV)/(1+z_T)^T

若用 YTM 对所有现金流统一折现，在收益率曲线非平坦时会产生定价偏差：

• 上斜曲线：对近期现金流折现过多，对远期折现不足 → YTM 定价偏低
• 下斜曲线：结论相反

例：z₁=2%，z₂=3.015%，z₃=4.055%，5% 票息 3 年期债券无套利价 = 5/1.02 + 5/1.03015² + 105/1.04055³ = 102.8102

含嵌入期权债券的挑战

嵌入期权债券的现金流依赖于未来利率路径（期权是否被执行取决于利率走向），因此必须建立能模拟利率随机演变的利率树框架。

二叉利率树（Binomial Interest Rate Tree）基于对数正态随机游走，每个节点短期利率有且仅有两个可能值（上行/下行），两者均等概率发生。

对数正态模型的两大优点

• 利率非负（当利率趋近零时，绝对变动也趋近零）
• 利率越高，波动越大（高利率时变动幅度更大）

相邻节点关系

同一时点，相邻节点利率满足：

i_H = i_L × e^(2σ)     （相邻上下节点）
i_{2,HH} = i_{2,LL} × e^(4σ)
i_{2,HL} = i_{2,LL} × e^(2σ)

其中 σ 为年化利率波动率，e ≈ 2.7183（自然对数底）。 波动率越高 → 节点利率间距越大；σ→0 时，树退化为隐含远期曲线。

再组合树（Recombining Tree）

上行后下行 = 下行后上行（路径无关），因此 T 期后只有 T+1 个节点而非 2^T 个，计算效率大幅提升。

波动率估算方法

• 历史波动率：用历史利率数据估算
• 隐含波动率：从利率衍生品（互换期权、上/下限期权）市场价格反推

校准（Calibration）确保利率树与当前基准收益率曲线一致，使模型对每个基准债券定价精确等于市场价格，从而实现无套利。

逐期迭代校准步骤

• Time 0：当期一年即期利率，直接已知
• Time 1：试选 i₁,L（低于隐含远期利率），令 i₁,H = i₁,L × e^(2σ)，用逆向归纳法为二年期基准债券定价，迭代直至定价 = 100
• Time 2：固定 Time 1 节点，试选 i₂,HL（靠近隐含远期利率），计算 i₂,HH 和 i₂,LL，迭代至三年期基准债券定价 = 100
• 以此类推，每增加一期加入新的基准债券约束

注意：树中节点利率的平均值略高于对应的隐含远期利率，因为对数正态假设导致向上偏斜。波动率 σ=15%：Time 1 均值 ≈ (1.6121%+1.1943%)/2 = 1.4032%，略高于隐含远期利率 1.4028%

波动率对树的影响

• σ 越大 → 节点利率分布越分散（上下节点差距越大）
• σ → 0 → 所有节点利率收敛至隐含远期利率，树退化为远期曲线

逆向归纳法（Backward Induction）：从到期日（已知面值+末期票息）出发，逐步向左（时间逆向）折现至当前节点。

节点价值计算公式

V_node = [½(V_H + C) + ½(V_L + C)] / (1 + i_node)
        = (V_H + V_L + 2C) / [2(1 + i_node)]

其中 V_H、V_L 为下一时期上/下节点债券价值，C 为票息，i_node 为当前节点一年期利率。

两种定价方法的等价性

对无嵌入期权债券，使用经过正确校准的二叉树进行逆向归纳，所得价格与用即期曲线折现完全相同——这正是校准保证无套利的体现。

路径估值法是逆向归纳法的等价替代方法：枚举二叉树中所有可能的利率路径，对每条路径计算债券现值，取所有路径的平均值。

步骤

1. 列举所有可能路径（T 期树有 2^T 条路径，但再组合树路径数可由 Pascal 三角形确定）
2. 沿每条路径依次用各期利率折现现金流，计算该路径下的债券现值
3. 对所有路径现值取简单平均

路径数量规律（Pascal 三角形）：1 期 2 条，2 期 4 条，3 期 8 条，T 期 2^T 条（路径无关折减后实际不同利率组合 = T+1 种）。

路径估值与逆向归纳等价性

对无嵌入期权债券，两种方法结果完全相同，证明了两者在无套利框架下的内在一致性。

例（三年零息债）：4 条路径的现值平均 = 96.3377，与逆向归纳结果一致

蒙特卡洛方法：随机模拟大量利率路径，对各路径分别计算证券价值后取平均，适用于路径依赖（Path-Dependent）现金流的证券。

适用场景

典型应用：抵押支持证券（MBS）。提前还款率（Prepayment Rate）取决于利率路径（利率下行时再融资需求上升），现金流无法仅由当前利率水平决定，必须追踪完整路径。二叉树因节点合并（路径无关）无法捕捉此类特性。

蒙特卡洛估值步骤

1. 在概率分布与波动率假设下，模拟大量（如 500 条）一月期利率路径
2. 从模拟的短期利率生成即期利率
3. 沿每条路径确定现金流（含路径依赖部分）
4. 计算每条路径的现值
5. 对所有路径现值取平均

漂移调整（Drift Adjustment）

为确保模型无套利，在所有路径的所有利率上加一个常数（漂移项），使每个基准债券的平均现值等于其市场价格。经过漂移调整的模型称为漂移调整模型。

均值回复（Mean Reversion）

通过对随机过程施加上下限，防止利率走向极端值，使利率趋向隐含远期利率。路径数越多，统计精度越高，但不等于模型越接近真实价值（取决于模型假设质量）。

期限结构模型对利率如何随时间演变给出定量描述，供定价和对冲使用。单因子模型以短期利率为唯一驱动因子，一般形式：

dr_t = θ_t dt + σ_t dZ

θ_t：漂移项（期望演变路径）；σ_t dZ：随机/波动项（Z 为 Weiner 过程）

均衡模型（Equilibrium Models）

从基本经济变量出发推导利率，参数不强制令模型价格与市场价格一致，更适合动态/多情景分析。

无套利模型（Arbitrage-Free Models）

以当前市场价格为出发点，参数随时间调整以精确匹配当前期限结构，适合对具体证券定价和对冲，特别是含嵌入期权的债券。

模型选择权衡

• 均衡模型：参数少、计算简单，但不能精确匹配当前市场价格
• 无套利模型：参数多（时变）、计算复杂，但与当前市场完全一致，定价准确
• 现代模型（如 Gauss+）：多因子，区分短中长期利率，短端受央行控制（无随机项），中端最波动，波动率曲线呈驼峰形

• 任何金融资产价值 = 预期未来现金流的现值
• 固定收益证券 = 一组零息债券，每笔现金流用对应即期利率折现
• 无套利市场中，同一现金流必须有唯一价格；违反一价定律将产生套利
• 无嵌入期权债券的无套利价值 = 用基准即期曲线折现所有现金流之和
• 含嵌入期权债券需使用利率树，因现金流依赖未来利率路径
• 二叉树基于对数正态随机游走，相邻节点利率比为 e^(2σ)；σ=0 时退化为远期曲线
• 校准确保利率树对每个基准债券的定价精确匹配市场价格（无套利）
• 逆向归纳法与路径估值法对无期权债券给出相同价格（等价）
• 蒙特卡洛法适合路径依赖现金流（如 MBS），需漂移调整确保无套利
• 均衡模型（CIR、Vasicek）：含均值回复，不强制匹配当前市场
• 无套利模型（Ho–Lee、KWF）：时变漂移，精确匹配当前期限结构

• 描述含嵌入期权的固定收益证券类型
• 解释可赎回债券/可回售债券价值与直接债券、嵌入期权价值的关系
• 描述如何用无套利框架对含嵌入期权债券进行估值
• 解释利率波动率如何影响可赎回/可回售债券价值
• 解释收益率曲线水平与形状变化对可赎回/可回售债券价值的影响
• 从利率树计算可赎回/可回售债券价值
• 解释期权调整利差（OAS）的计算与使用
• 解释利率波动率如何影响 OAS
• 计算并解释可赎回/可回售债券的有效久期
• 比较可赎回、可回售与直接债券的有效久期
• 描述单边久期与关键利率久期在评估含期权债券利率敏感性中的应用
• 比较可赎回、可回售与直接债券的有效凸性
• 计算封顶/设底浮动利率债券的价值
• 描述可转换债券的定义特征
• 计算并解释可转换债券价值的各组成部分
• 描述如何在无套利框架下对可转换债券进行估值
• 比较可转换债券与直接债券及标的普通股的风险回报特征

嵌入期权（Embedded Options）是债券契约中的或有条款，持有人可凭此利用利率变动获益。与独立期权不同，嵌入期权不能单独交易。

简单嵌入期权

可赎回期权类型

• 欧式（European）：仅在特定日期行权一次
• 美式（American）：第一赎回日后任何时间均可行权
• 百慕大式（Bermudan）：保护期后按预定时间表行权（最常见）

复杂嵌入期权

• 可转换债券：投资者可将债券转换为发行人普通股
• 遗产回售（Estate Put）：债券持有人死亡时，继承人可按面值回售
• 沉淀基金债券（Sinking Fund Bond）：发行人须逐期提留偿债，通常含加速条款和交割期权

价值分解公式

V_callable  = V_straight - V_call_option    (发行人短Call)
V_putable   = V_straight + V_put_option     (投资者长Put)

→ V_call_option = V_straight - V_callable
→ V_put_option  = V_putable  - V_straight

无套利框架下，债券价值 = 直接债券价值 ± 各嵌入期权价值之和。对发行人期权取负（降低债券价值），对投资者期权取正（提高债券价值）。

零波动率下的逐步估值（Forward Rate Discounting）

用一年期远期利率逐步折现，每一节点判断是否行权：

• 可赎回：若未来现金流现值 > 赎回价 → 发行人赎回，节点价值 = min(计算值, 赎回价)
• 可回售：若未来现金流现值 < 回售价 → 投资者回售，节点价值 = max(计算值, 回售价)

例：3年期4.25%债券，零波动率下：可赎回价值 = 101.707，直接债价值 = 102.114，赎回期权价值 = 0.407；可回售价值 = 102.397，回售期权价值 = 0.283

可赎回与可延期债券的等价性

3年期可回售债券（Year 2 回售）与 2年期可延期债券（延期1年）价值完全相同，因为两者现金流在所有利率情景下均一致。

利率波动率的影响（核心结论）

原因：波动率越高，利率树上的极端节点越多，期权被行权的机会越多，期权价值越高。

收益率曲线水平的影响

• 利率下降：直接债券价值上升；但可赎回债券价格上涨受赎回期权限制（赎回期权价值同步上升），上行空间受压
• 利率上升：直接债券价值下降；但可回售债券价格下跌受回售期权限制，下行风险受压

收益率曲线形状的影响

• 赎回期权价值：曲线越平坦/倒挂 → 远期利率越低 → 行权机会越多 → 赎回期权价值越高
• 回售期权价值：曲线越陡峭 → 远期利率越高 → 行权机会越多 → 回售期权价值越高

三步估值流程

1. 基于给定收益率曲线和波动率假设，生成利率树（校准至基准债券）
2. 在每个节点判断嵌入期权是否被行权，相应调整节点价值
3. 用逆向归纳法从到期日向左折现，得到当前债券价值

节点价值调整规则

可赎回：V_node = min[ (V_H + V_L)/2 + C) / (1+i), 赎回价 ]
可回售：V_node = max[ (V_H + V_L)/2 + C) / (1+i), 回售价 ]

数值示例（10% 波动率）

3年期 4.25% 债券，直接债价值 102.114：

• 可赎回价值 = 101.540 → 赎回期权价值 = 0.574（> 零波动率下的 0.407）
• 可回售价值 = 102.522 → 回售期权价值 = 0.408（> 零波动率下的 0.283）

验证：波动率越高 → 期权价值越大，符合预期

OAS（Option-Adjusted Spread）：在利率树的所有节点上统一加一个固定利差，使债券的无套利价值恰好等于其市场价格。

OAS: 调整后利率树定价 = 债券市场价格
(所有节点利率均加 OAS)

OAS 剔除了期权成本，反映债券相对基准的纯信用/流动性溢价。

• OAS < 同类债券 → 债券偏贵（Rich），建议回避
• OAS > 同类债券 → 债券偏便宜（Cheap），具有吸引力
• OAS ≈ 同类债券 → 定价合理（Fair）

利率波动率对 OAS 的影响

对于可赎回债券：波动率↑ → 赎回期权价值↑ → 计算价值↓ → 为匹配市场价格，OAS↓。 因此，在比较不同债券的 OAS 时，必须确保使用相同的波动率假设。

与 Z-Spread 的关系

无嵌入期权债券的 Z-Spread 在零波动率下等于其 OAS。含期权债券的 OAS ≠ Z-Spread，因为 Z-Spread 未调整期权成本。

对于含嵌入期权债券，修正久期（Modified Duration）不适用（假设现金流不随利率变化），必须使用有效久期（Effective Duration）。

EffDur = (PV₋ - PV₊) / (2 × ΔCurve × PV₀)

PV₋：基准曲线下移 ΔCurve 后的价格；PV₊：上移后价格；PV₀：当前价格

有效久期计算步骤（需要 OAS）

1. 给定当前价格 PV₀，计算隐含 OAS
2. 基准曲线下移 ΔCurve，生成新利率树，用 OAS 定价得 PV₋
3. 基准曲线上移 ΔCurve，生成新利率树，用 OAS 定价得 PV₊
4. 代入公式计算有效久期

含期权债券有效久期的规律

当期权深度价内时，债券有效久期趋近于在第一行权日到期的直接债久期。

单边久期（One-Sided Duration）：分别计算利率上行和下行时的有效久期，更好地捕捉含期权债券对利率非对称的敏感性。

关键利率久期（Key Rate Duration）

仅移动基准曲线上特定关键期限（如 2年、5年、10年），计算各段对应的价格敏感性。用于识别"形态风险"（Shaping Risk）。

• 无期权债券：最大关键利率久期在到期日附近（最大现金流处）；对平价债券仅到期匹配利率有效
• 可赎回债券：票息高（Call ITM）→ 关键利率久期集中于行权日；票息低（Call OTM）→ 集中于到期日
• 可回售债券：票息低（Put ITM）→ 关键利率久期集中于行权日；票息高（Put OTM）→ 集中于到期日
• 零息/低票息债券可出现负关键利率久期（某期限利率上升反而使债券价值上升）

EffConvex = (PV₋ + PV₊ - 2×PV₀) / (ΔCurve² × PV₀)

三类债券的凸性对比

负凸性（可赎回债券 Call ITM）意味着：利率下降带来的价格上涨远小于利率上升带来的价格下跌——投资者处于不利地位。

封顶浮动利率债券（Capped Floater）

票息上限保护发行人免受利率上升影响 → 发行人期权 → 降低债券价值：

V_capped_floater = V_straight_floater - V_cap
V_straight_floater = 100（浮动利率债在面值发行）

在利率树中，若某节点参考利率超过封顶利率，票息按封顶利率计算（现金流向下调整）。

设底浮动利率债券（Floored Floater）

票息下限保护投资者免受利率下降影响 → 投资者期权 → 提高债券价值：

V_floored_floater = V_straight_floater + V_floor

在利率树中，若某节点参考利率低于设底利率，票息按设底利率计算（现金流向上调整）。

例：3年期参考利率浮动债，封顶 4.5%，σ=10%：封顶浮动债价值 = 99.761，上限价值 = 0.239。设底 3.5%：设底浮动债价值 = 101.133，下限价值 = 1.133

核心定义特征

下行风险指标：直接债溢价

Premium over Straight Value = (V_convertible / V_straight) - 1

溢价越低，可转债越接近直接债底价，下行保护越好。但注意直接债价值非固定，利率和信用利差变化会影响底价。

无套利框架下的可转债估值

V_convertible       = V_straight + V_call_on_stock
V_callable_convert  = V_straight + V_call_on_stock - V_issuer_call
V_callable_putable_convert = V_straight + V_call_on_stock
                           - V_issuer_call + V_investor_put

基于股价相对转换价格的风险回报特征

股价超过市场转换价格后，可转债价格涨幅≥股价涨幅（转换价值成为主导）。发行人通常在股价超过转换价格时强制赎回，迫使投资者转股（强制转换 Forced Conversion）。

特殊品种：CoCo（或有可转债）

通常由金融机构发行，票息更高但深度次级。触发条件（如监管资本比率跌破阈值）时被强制转为股权或面值减记。

• 嵌入期权价值 = 直接债价值与含期权债券价值之差
• 发行人期权（Call）降低债券价值；投资者期权（Put）提高债券价值
• 所有嵌入期权价值均随利率波动率增加而增加
• 可赎回债券：波动率↑ → Call↑ → 债券价值↓；可回售债券：波动率↑ → Put↑ → 债券价值↑
• OAS = 加到利率树所有节点使价值 = 市场价格的固定利差，剔除期权成本
• 可赎回债券：波动率↑ → OAS↓（需相同波动率假设才能比较 OAS）
• 含期权债券只能用有效久期（非修正久期），有效久期 ≤ 直接债久期
• 单边久期更能捕捉非对称性：可赎回债上行久期 > 下行久期；可回售债下行久期 > 上行久期
• 关键利率久期揭示形态风险，含期权债券的关键利率久期集中于行权日或到期日（取决于 ITM/OTM）
• 可赎回债 Call ITM 时呈负凸性；可回售债始终正凸性
• 封顶/设底浮动债用相同无套利框架估值，封顶降价（发行人期权），设底增价（投资者期权）
• 可转债最低价值 = max(转换价值, 直接债价值)，为动态底价
• 股价远低于转换价格：偏债券；远高于：偏股票；接近：混合型