Derivatives

一价定律（Law of One Price）

相同的现金流必须具有相同的价值。若出现偏差，套利者将通过买入低估资产、卖出高估资产来消除价差。

持有成本模型（Carry Arbitrage Model）概述

远期价格等于标的资产的未来值，调整持有收益（carry benefits）和持有成本（carry costs）：

F₀ = FV(S₀ + CC₀ − CB₀)

其中:
S₀ = 标的资产当前价格
CC₀ = 持有成本（现值），如仓储费、保险费
CB₀ = 持有收益（现值），如股息、利息、便利收益
FV(x) = x × (1 + r)ᵀ

远期/期货价格 vs. 远期/期货价值

无现金流的标的资产

对于无股息股票、无息零库存商品等：

F₀(T) = S₀ × (1 + r)ᵀ （离散复利）
F₀(T) = S₀ × e^(rᶜT) （连续复利）

直觉：远期价格 = 以无风险利率融资购买现货的未来成本

有现金流的标的资产（完整公式）

F₀ = FV(S₀ + CC₀ − CB₀)

等价形式（持有成本模型）:
F₀ = (S₀ − PV(CB₀) + PV(CC₀)) × (1 + r)ᵀ

远期合约价值（中途）

在时刻 t（0 < t < T），多头远期合约价值为：

Vt(T) = PV[Ft − F₀]

其中 Ft 为时刻 t 重新协商的新远期价格（对应剩余期限 T−t）
等价: Vt = St − PV(CB) − F₀ × (1+r)^{−(T−t)}

股票远期定价

CB₀ = 股息现值（PV of dividends）；CC₀ = 0（通常无持有成本）

F₀(T) = (S₀ − PV(D)) × (1 + r)ᵀ

或用连续股息收益率 δ:
F₀(T) = S₀ × e^{(r − δ)T}

股票远期中途价值

Vt = St − PV(Dt,T) − F₀ × (1 + r)^{−(T−t)}

Dt,T = 从 t 到 T 期间股息的现值

FRA 到期结算（提前交割）

FRA 在借款开始时（h 时刻）按现值结算，而非到期：

payoff（多头，时刻 h）:
= NA × [L(h,T) − FRA₀] × tm / [1 + L(h,T) × tm]

其中 L(h,T) 为 h 时刻观察到的参考利率

FRA 中途价值（在时刻 g，0 < g < h）

Vg(FRA) = {[1 + FRAg × tm] / [1 + Lg(T−g) × t(T−g)]}
− 1 / [1 + Lg(h−g) × t(h−g)]
再乘以名义本金 NA

关键价格概念

简化直觉

期货价格 ≈ CTD 债券全价的未来值 − 持有期票息收入，再除以转换因子。空头方持有债券并做空期货，收取票息抵消融资成本。

固定收益远期中途价值

Vt = PV[Ft − F₀] （多头）

Ft = 新远期价格（t 时刻，剩余期限 T−t）
F₀ = 原始合约远期价格

互换价值（中途估值）

互换可视为固定利率债券多头与浮动利率债券空头（收固定、付浮动）的组合：

收固定互换价值:
V = NA × Σ(rFIX − FSt) × PVᵢ

等价表达:
V = PV(固定现金流) − NA （浮动腿在付息日价值 = NA）

其中 FSt = 当前市场互换固定利率（at-market rate at time t）

互换 vs. 债券等价

货币互换估值（中途）

将各货币债券分别估值，再用即期汇率换算：

VCS（以货币 a 计）= Va − St × Vb

Va = 货币 a 侧固定/浮动利率债券价值
Vb = 货币 b 侧固定/浮动利率债券价值
St = t 时刻即期汇率

货币互换的用途

• 将外币借贷转换为本币借贷，消除汇率风险
• 进入本国企业难以直接进入的外国债券市场
• 实现相对融资优势（比较优势理论）
• 将外币资产的利息收入对冲为本币

股票互换估值（收固定、付股票回报）

VEQ,t = VFIX(C₀) − (St/St−1) × NAE − PV(Par − NAE)

其中:
VFIX(C₀) = 固定利率债券现值（票息 = C₀ = rFIX × NA）
St = t 时刻股票指数水平
St−1 = 上一付息日股票指数水平
NAE = 名义本金（以当前股票价值计）
PV(Par − NAE) = 名义本金调整项现值

股票互换 vs. 利率互换的关键差异

股票互换的用途

• 获取股票市场敞口而无需实际买入股票（合成多头）
• 对冲股票集中持仓风险
• 资产配置：用固定收益换取股票回报
• 规避某些国家股票市场的交易限制或税收

各类合约定价汇总

套利机制汇总

• 正向套利（Cash-and-Carry）：若 F₀ > FV(S₀)，买现货做空远期，到期锁定无风险利润
• 反向套利（Reverse Carry）：若 F₀ < FV(S₀)，卖空现货做多远期，到期锁定无风险利润
• 套利力量驱使远期价格收敛于无套利均衡值
• 期货收敛性：到期时期货价格 = 现货价格（basis → 0）

无套利估值的关键假设

• 复制工具可识别且可投资
• 无市场摩擦（无交易成本和税收）
• 允许卖空并可完全使用卖空所得
• 标的资产价格遵循已知的统计分布
• 可按无风险利率借贷

关键概念

到期时期权价值（内在价值）

cT = Max(0, ST − X) （看涨期权）
pT = Max(0, X − ST) （看跌期权）

无套利期权定价

c = hS + PV(−hS⁻ + c⁻)
p = hS + PV(−hS⁻ + p⁻)

等价：c = hS + PV(−hS⁺ + c⁺)

看涨期权 = 杠杆持有标的仓位（买股票 + 借款）
看跌期权 = 卖空标的 + 贷出（做空 + 借出）

看跌-看涨平价（Put-Call Parity）

S + p = PV(X) + c

等价: c = S − PV(X) + p

终端节点价值（时刻 2）

c⁺⁺ = Max(0, u²S − X)
c⁺⁻ = Max(0, udS − X)
c⁻⁻ = Max(0, d²S − X)

类似定义 p⁺⁺、p⁺⁻、p⁻⁻

美式期权：提前行权检验

在每个节点，美式期权价值 = max（模型价值，行权价值）：

美式看涨行权价值: Max(0, S − X)
美式看跌行权价值: Max(0, X − S)

若行权价值 > 模型价值，则提前行权（以行权价值替代）

托管法核心思路

S̃ = S − PV(股息) （无股息的标的价值）

对 S̃ 建模二叉树，而非对 S;
S̃⁺ = u × S̃，S̃⁻ = d × S̃

股票实际价值（含再投资股息）= ST + γT

利率期权二叉树

利率期权的标的为即期利率。利率二叉树的各节点折现因子不同（利率随时间变动），通常假设 RN 概率 = 50%。计算方法与股票期权一致：从到期节点逐步向前折现。

利率看涨期权到期收益: Max(0, S − X)
利率看跌期权到期收益: Max(0, X − S)
（S = 观察到的即期利率，X = 行权利率）

每期折现因子因节点利率不同而异

BSM 的两种解读

N(d₁) 与 N(d₂) 的含义

• N(d₁)：复制看涨期权所需的股票数量（对冲比率/delta）；随标的价格变化
• N(d₂)：复制期权所需零息债券数量；同时是看涨期权在到期时价内的风险中性概率
• N(−d₂)：看跌期权在到期时价内的风险中性概率

BSM 与二叉模型的对应关系

货币期权汇率惯例

汇率以"每单位外币的本币数量"表示，如 135¥/€。标的为外汇即期汇率，γ = 外国无风险利率 rf，折现率 r = 本国无风险利率。

利率期权（标准市场模型）

标的为 FRA 利率；利率在到期时设定（advanced set），支付在后（settled in arrears）：

c = e^(−r·tj) · AP · [FRA(0,tj₋₁,tm)·N(d₁) − RX·N(d₂)]
p = e^(−r·tj) · AP · [RX·N(−d₂) − FRA(0,tj₋₁,tm)·N(−d₁)]

其中:
AP = 计息期（年化，如 90/360 = 0.25）
tj = 支付日（= tj₋₁ + tm）；折现至 tj 而非 tj₋₁
RX = 行权利率（年化十进制）
FRA = 标的 FRA 固定利率（年化十进制）
d₁ = [ln(FRA/RX) + (σ²/2)tj₋₁] / (σ√tj₋₁)

利率期权的组合关系

• 利率上限（Cap）：一组利率看涨期权（Caplets）的组合，对浮动利率贷款提供保护
• 利率下限（Floor）：一组利率看跌期权（Floorlets）的组合，保护浮动利率投资
• 多头 Cap + 空头 Floor（行权利率 = 互换利率）：等价于收浮动、付固定互换

互换期权的等价关系

• 多头收款期权 + 空头付款期权（相同行权利率）= 收固定、付浮动远期互换
• 多头付款期权 + 空头收款期权 = 收浮动、付固定远期互换
• 多头可赎回固定利率债券 = 多头普通固定利率债券 + 空头收款互换期权

Delta 对冲

最优对冲单位数: NH = −Portfolio Delta / Delta_H

Delta 中性组合: Portfolio Delta + NH × Delta_H = 0

Delta 近似（期权价格变化估计）:
Δc ≈ Delta_c × ΔS
Δp ≈ Delta_p × ΔS

Delta 对冲是线性近似，仅对微小价格变动精确，大幅变动时需要 Gamma 修正。

Delta + Gamma 改进近似

Δc ≈ Delta_c × ΔS + (1/2) × Gamma_c × (ΔS)²
Δp ≈ Delta_p × ΔS + (1/2) × Gamma_p × (ΔS)²

比单纯 Delta 近似更准确，特别是对较大的标的价格变动。

Theta（时间衰减）

• 定义：其他条件不变时，日历时间推移带来的期权价值变化
• 通常为负值（随时间流逝，期权时间价值下降）
• 到期临近时衰减速度加快，尤其是平价期权
• 时间流逝是确定性的（与 Delta、Gamma 不同，无随机性）

Vega（波动率敏感性）

• 定义：其他条件不变时，波动率变化带来的组合价值变化
• 看涨和看跌期权的 Vega 均为正值（波动率↑ → 期权价值↑）
• Vega 在平价附近最大；BSM 五个变量中，期权价值对波动率最敏感
• 波动率不可观测；Vega 只能用其他期权对冲（股票 Vega = 0）
• Vega_c = Vega_p（由看跌-看涨平价推导）

Rho（利率敏感性）

• 定义：其他条件不变时，无风险利率变化带来的组合价值变化
• Rho_c > 0：利率↑ → 看涨期权价值↑（买期权省去融资成本）
• Rho_p < 0：利率↑ → 看跌期权价值↓（持有看跌期权延迟出售，损失利息）
• 利率对期权价值的影响相对较小，通常非主要风险来源

隐含波动率的应用

• 期权报价机制：市场参与者以波动率而非价格报价，便于跨行权价/到期日比较
• 波动率微笑（Volatility Smile）：相同到期日不同行权价的隐含波动率曲线，通常非水平
• 波动率期限结构：相同行权价不同到期日的隐含波动率变化
• 波动率曲面（Volatility Surface）：行权价和到期日共同构成的三维隐含波动率图，BSM 假设成立时应平坦
• VIX（恐慌指数）：S&P 500 期权隐含波动率的综合指数，反映市场整体不确定性

BSM 模型要点

• 关键假设：GBM（几何布朗运动），价格连续、无跳跃，波动率已知恒定
• 看涨 = 杠杆买股票（做多 N(d₁) 份股票 + 借入 N(d₂) 份零息债券）
• 看跌 = 卖空股票 + 贷出（做空 N(−d₁) 份股票 + 持有 N(−d₂) 份零息债券）
• N(d₂) = 看涨期权在到期时价内的风险中性概率

Black 模型与互换期权

• Black 模型：标的为期货/远期价格，无持有成本/收益（γ = r，e^(−rT) 调整）
• 利率期权：需调整计息期（AP），折现至支付日 tj（非到期日 tj₋₁）
• 互换期权：需额外调整年金现值因子（PVA），含义为一系列等额支付的现值
• 付款互换期权 ≈ 看涨利率期权；收款互换期权 ≈ 看跌利率期权

Greeks 汇总与隐含波动率

• Delta：线性风险度量，用股票对冲；Gamma 修正 Delta 的非线性误差
• Gamma 中性需通过期权交易调整，再用股票恢复 Delta 中性
• Theta 通常为负（时间耗损）；Vega 对波动率最敏感，只能用期权对冲
• 隐含波动率是从市场价格反推的波动率，反映市场对未来不确定性的预期
• 波动率微笑、期限结构和曲面揭示 BSM 假设（恒定波动率）在实践中的局限